一.选择题（每题3分，共24分） 1．如果反比例函数y=
在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜﹣1 D．m＞﹣1
2．圆、平行四边形、等腰三角形、菱形，矩形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
3．如图，圆的半径是6，空白部分的圆心角分别是60°与30°，则阴影部分的面积是（ ）
A．9π B．27π C．6π D．3π
4．一个圆锥的母线长为10，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ） A．10π B．20π C．50π D．100π
5．若mn＞0，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=
在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．
B． C． D．
6．如图，反比例函数y1=和正比例函数y2=nx的图象交于A（﹣1，﹣3）、B两点，则﹣nx≥0的解集是（ ）
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A．﹣1＜x＜0
B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．x≤1或0＜x≤1 D．﹣1＜x＜0或x≥1
2
7．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm，则该半圆的半径为（ ）
A．
cm
B．9cm C．
cm D． cm
8．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒第2015秒时，点P的坐标是（ ）
个单位长度，则
A．（2014，0） B．（2015，﹣1） C．（2015，1）
二.填空题：（每小题3分，共21分） 9．已知双曲线y=
10．一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为 cm．
11．一只口袋里有相同的红、绿、蓝三种颜色的小球，其中有6个红球，5个绿球．若任意摸出一个绿球的概率是，则任意摸出一个蓝球的概率是 ．
2
D．（2016，0）
经过点（﹣1，2），那么k的值等于 ．
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12．如图，AB是直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为的长为 cm．
cm，则弦CD
13．已知点P（x1，﹣2）、Q（x2，3）、H（x3，1）在双曲线
上，那么x1、
x2、x3的大小关系是 ．
14．在半径为6cm的圆中，长为6cm的弦所对的圆周角的度数为 ．
15．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交O为圆心，OC的长为半径作
于点E，以点
交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为 ．
三.解答题（共75分）
16．一次函数y=2x+2与反比例函数y=（k≠0）的图象都过点A（1，m），y=2x+2的图象与x轴交于B点．
（1）求点B的坐标及反比例函数的表达式；
（2）C（0，﹣2）是y轴上一点，若四边形ABCD是平行四边形，直接写出点D的坐标，并判断D点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．
17．有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字． （1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果； （2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，y）落在双曲线上y=上的概率．
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18．星期五晚上，小明和他的妈妈一起看《我是歌手》，歌手演唱完后要评选出名次，在已公布四到七名后，还有张杰、韩磊、邓紫棋三位选手没有公布名次． （1）求邓紫棋获第一名的概率；
（2）如果小明和妈妈一起竞猜第一名，那么两人中一个人猜中另一个人却没猜中的概率是多少？（请用“树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
19．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．
（1）求直径AB的长；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
20．如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数
的图象的一个交点
为A（2，3）．
（1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标．
21．如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B．过点B作BD∥AC交⊙O于点D，连接CD、OC，且OC交DB于点E．若∠CDB=30°，DB=5cm． （1）求⊙O的半径长；
（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）
22．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B=30°，延长BA到D，使∠BDC=30°．
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（1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若AB=2，求DC的长．
23．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）． （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过M作直线MB‖x轴交y轴于点B．过点A作直线AC∥y轴交于点C，交直线MB于点D，当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由；
（4）探索：x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
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参与试题解析
一.选择题（每题3分，共24分） 1．如果反比例函数y=
在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜﹣1 D．m＞﹣1 【考点】反比例函数的性质． 【分析】如果反比例函数y=是（ ）
【解答】解：∵反比例函数y=
的图象在所在象限内，y的值随x值的增大而减小， 在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围
∴m+1＞0，解得m＞﹣1． 故选D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
2．圆、平行四边形、等腰三角形、菱形，矩形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】概率公式；轴对称图形．
【分析】由圆、平行四边形、等腰三角形、菱形，矩形中，轴对称图形的有圆、等腰三角形、菱形，矩形；直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵圆、平行四边形、等腰三角形、菱形，矩形中，轴对称图形的有圆、等腰三角形、菱形，矩形； ∴一次过关的概率是：．
故选D．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．如图，圆的半径是6，空白部分的圆心角分别是60°与30°，则阴影部分的面积是（ ）
A．9π B．27π C．6π D．3π 【考点】扇形面积的计算．
【分析】计算阴影部分圆心角的度数，运用扇形面积公式求解． 【解答】解：根据扇形面积公式， 阴影部分面积=
=27π．故选B．
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【点评】考查了扇形面积公式的运用，扇形的旋转．
4．一个圆锥的母线长为10，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ） A．10π B．20π C．50π D．100π 【考点】圆锥的计算． 【专题】压轴题．
【分析】圆锥的侧面积为半径为10的半圆的面积．
【解答】解：圆锥的侧面积=半圆的面积=π×10÷2=50π，故选C． 【点评】解决本题的关键是把圆锥的侧面积转换为规则图形的面积．
5．若mn＞0，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=
在同一坐标系中的大致图象是（ ）
2
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象． 【分析】首先根据mn＞0确定反比例函数的图象的位置，然后根据m、n异号确定答案即可． 【解答】解：∵mn＞0， ∴m、n异号，且反比例函数y=
的图象位于第一、三象限，
∴排除C、D；
∵当m＞0时则n＜0， ∴排除A，
∵m＜0时则n＞0， ∴B正确， 故选B． 【点评】本题考查了反比例函数的性质及一次函数的性质，解题的关键是了解两种函数的性质．
6．如图，反比例函数y1=和正比例函数y2=nx的图象交于A（﹣1，﹣3）、B两点，则﹣nx≥0的解集是（ ）
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A．﹣1＜x＜0 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．x≤1或0＜x≤1 D．﹣1＜x＜0或x≥1 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】求出≥nx，求出B的坐标，根据A、B的坐标结合图象得出即可． 【解答】解：∵﹣nx≥0， ∴≥nx，
∵反比例函数y1=和正比例函数y2=nx的图象交于A（﹣1，﹣3）、B两点， ∴B点的坐标是（1，3），
∴﹣nx≥0的解集是x＜﹣1或0＜x＞1，
故选B．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生的理解能力和观察图象的能力．
7．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm，则该半圆的半径为（ ）
2
A． cm B．9cm C． cm D． cm 【考点】正多边形和圆． 【专题】压轴题．
【分析】已知小正方形的面积即可求得边长，在直角△ACE中，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，圆心为A，设大正方形的边长为2x，圆的半径为R， ∵正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧， ∴AE=BC=x，CE=2x；
2
∵小正方形的面积为16cm， ∴小正方形的边长EF=DF=4，
22222
由勾股定理得，R=AE+CE=AF+DF，
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即x+4x=（x+4）+4， 解得，x=4， ∴R=cm． 故选C．
2222
【点评】本题利用了勾股定理，正方形的性质求解．
8．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒第2015秒时，点P的坐标是（ ）
个单位长度，则
A．（2014，0） B．（2015，﹣1） C．（2015，1） D．（2016，0） 【考点】规律型：点的坐标． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2015的坐标． 【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为：∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒∴点P1秒走个半圆，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1）， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0）， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1）， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0）， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1）， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0）， …，
∵2015÷4=503…3
∴A2015的坐标是（2015，﹣1）， 故选：B．
【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
二.填空题：（每小题3分，共21分）
，
个单位长度，
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9．已知双曲线y=经过点（﹣1，2），那么k的值等于 ﹣3 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】直接把点（﹣1，2）代入双曲线y=【解答】解：∵双曲线y=∴2=
，解得k=﹣3．
，求出k的值即可．
经过点（﹣1，2），
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
10．一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为 10π cm． 【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm， ∴圆锥的底面圆的周长=2π•5=10π， ∴圆锥的侧面积=•10π•2=10π（cm）．
故答案为：10π．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=•l•R，（l为弧长）．
11．一只口袋里有相同的红、绿、蓝三种颜色的小球，其中有6个红球，5个绿球．若任意摸出一个绿球的概率是，则任意摸出一个蓝球的概率是
．
2
2
【考点】概率公式．
【分析】设袋中有蓝球m个，根据蓝球概率公式列出关于m的方程，求出m的值即可． 【解答】解：设袋中有蓝球m个，则袋有球（6+5+m）个，若任意摸出一个绿球的概率是， 有
=，解得m=9，任意摸出一个蓝球的概率是
=0.45．
故答案为：0.45
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
12．如图，AB是直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为的长为 3 cm．
cm，则弦CD
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【考点】圆周角定理；垂径定理；解直角三角形．
【分析】根据∠CDB=30°，求出∠COB的度数，再利用三角函数求出CE的长．根据垂径定理即可求出CD的长．
【解答】解：∵∠CDB=30°， ∴∠COB=30°×2=60°． 又∵⊙O的半径为cm， ∴CE=
sin60°=
×
=，
∴CD=×2=3（cm）．
【点评】此题考查了垂径定理和圆周角定理，利用特殊角的三角函数很容易解答．
13．已知点P（x1，﹣2）、Q（x2，3）、H（x3，1）在双曲线x2、x3的大小关系是 x3＜x2＜x1 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】计算题．
【分析】把三个点的坐标代入解析式，分别计算出x1、x2、x3的值，然后比较大小即可． 【解答】解：把点P（x1，﹣2）、Q（x2，3）、H（x3，1）代入x2=﹣
，x3=﹣（a+1），
2
上，那么x1、
得x1=
，
所以x3＜x2＜x1． 故答案为x3＜x2＜x1．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
14．在半径为6cm的圆中，长为6cm的弦所对的圆周角的度数为 30°或150° ． 【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质．
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【专题】分类讨论．
【分析】首先根据题意画出图形，然后在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧上取点D，连接AD，BD，易得△AOB是等边三角形，再利用圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：如图，首先在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧上取点D，连接AD，BD， ∵OA=OB=6cm，AB=6cm， ∴OA=AB=OB，
∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠C=∠AOB=30°，
∴∠D=180°﹣∠C=150°，
∴所对的圆周角的度数为：30°或150°．
【点评】此题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．
15．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交O为圆心，OC的长为半径作
于点E，以点
+ ．
交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为
【考点】扇形面积的计算． 【专题】压轴题．
【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO=30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S即可求出阴影部分的面积． 【解答】解：连接OE、AE， ∵点C为OA的中点，
∴∠CEO=30°，∠EOC=60°， ∴△AEO为等边三角形，
空白AEC
∴S扇形AOE==π，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
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=
=π﹣π+=
+
．
﹣
﹣（π﹣×1×）
故答案为： +．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=
三.解答题（共75分）
16．一次函数y=2x+2与反比例函数y=（k≠0）的图象都过点A（1，m），y=2x+2的图象与x轴交于B点．
（1）求点B的坐标及反比例函数的表达式；
（2）C（0，﹣2）是y轴上一点，若四边形ABCD是平行四边形，直接写出点D的坐标，并判断D点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）在y=2x+2中令y=0，求得B的坐标，然后求得A的坐标，利用待定系数法求得反比例函数的解析式；
（2）根据平行线的性质即可直接求得D的坐标，然后代入反比例函数的解析式判断即可． 【解答】解：（1）在y=2x+2中令y=0，则x=﹣1， ∴B的坐标是（﹣1，0）， ∵A在直线y=2x+2上， ∴A的坐标是（1，4）． ∵A（1，4）在反比例函数y=图象上 ∴k=4．
∴反比例函数的解析式为：y=； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴D的坐标是（2，2）， ∴D（2，2）在反比例函数y=的图象上．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．
．
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17．有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字． （1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果； （2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，y）落在双曲线上y=上的概率．
【考点】列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】图表型． 【分析】（1）画出树状图即可得解；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征判断出在双曲线上y=上的情况数，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：
；
（2）当x=﹣1时，y=当x=1时，y==2， 当x=2时，y==1，
一共有9种等可能的情况，点（x，y）落在双曲线上y=上的有2种情况， 所以，P=．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．星期五晚上，小明和他的妈妈一起看《我是歌手》，歌手演唱完后要评选出名次，在已公布四到七名后，还有张杰、韩磊、邓紫棋三位选手没有公布名次． （1）求邓紫棋获第一名的概率；
（2）如果小明和妈妈一起竞猜第一名，那么两人中一个人猜中另一个人却没猜中的概率是多少？（请用“树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【考点】列表法与树状图法． 【专题】计算题． 【分析】（1）三个选手机会均等，得到邓紫棋获第一名的概率；
（2）假设张杰为第一名，列表得出所有等可能的情况数，找出两人中一个人猜中另一个人却没猜中的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）根据题意得：邓紫棋获第一名的概率为；
=﹣2，
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（2）假设张杰为第一名，列表如下： 张 韩 邓 张 （张，张） （韩，张） （邓，张） 韩 （张，韩） （韩，韩） （邓，韩） 邓 （张，邓） （韩，邓） （邓，邓） 所有等可能的情况有9种，两人中一个人猜中另一个人却没猜中的情况有4种， 则P=．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．
（1）求直径AB的长；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
【考点】圆周角定理；角平分线的定义；三角形的面积；含30度角的直角三角形；勾股定理；扇形面积的计算． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角推知∠ACB=90°，然后在直角三角形ABC中利用边角关系、勾股定理来求直径AB的长度；
（2）连接OD．利用（1）中求得AB=4可以推知OA=OD=2；然后由角平分线的性质求得∠AOD=90°；最后由扇形的面积公式、三角形的面积公式可以求得 阴影部分的面积=S扇形△AOD﹣S△AOD． 【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，…（1分） ∵∠B=30°，
∴AB=2AC，…（3分） ∵AB=AC+BC，
∴AB=AB+6，…（5分）
∴AB=4． …（6分）
（2）连接OD．
∵AB=4，∴OA=OD=2，…（8分）
2
2
2
2
2
2
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∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°， ∴∠ACD=45°，
∴∠AOD=2∠ACD=90°，…（9分） ∴S△AOD=OA•OD=•2
2
•2=6，…（10分） ）=3π，…（11分）
2
∴S扇形△AOD=•π•OD=•π•（2
∴阴影部分的面积=S扇形△AOD﹣S△AOD=3π﹣6． …（12分）
【点评】本题综合考查了圆周角定理、含30度角的直角三角形以及扇形面积公式．解答（2）题时，采用了“数形结合”的数学思想．
20．如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数
的图象的一个交点
为A（2，3）．
（1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积． 【专题】计算题．
【分析】（1）先将点A（2，3）代入反比例函数
和一次函数y=kx+2，求得m、k的值，
（2）可求得点B的坐标，设P（x，y），由S△PBC=18，即可求得x，y的值． 【解答】解：（1）把A（2，3）代入∴
．（1分）
，∴m=6．
把A（2，3）代入y=kx+2， ∴2k+2=3．∴
．
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∴ （2）令
．（2分）
，解得x=﹣4，即B（﹣4，0）．
∵AC⊥x轴，∴C（2，0）．
∴BC=6．（3分） 设P（x，y）， ∵S△PBC=
∴y1=6或y2=﹣6． 分别代入
中，
=18，
得x1=1或x2=﹣1．
∴P1（1，6）或P2（﹣1，﹣6）．（5分） 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用待定系数法求解析式是解此题的关键．
21．如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B．过点B作BD∥AC交⊙O于点D，连接CD、OC，且OC交DB于点E．若∠CDB=30°，DB=5cm． （1）求⊙O的半径长；
（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）
【考点】扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形．
【专题】几何综合题． 【分析】（1）根据切线的性质定理和平行线的性质定理得到OC⊥BD，根据垂径定理得到BE的长，再根据圆周角定理发现∠BOE=60°，从而根据锐角三角函数求得圆的半径； （2）结合（1）中的有关结论证明△DCE≌△BOE，则它们的面积相等，故阴影部分的面积就是扇形OBC的面积． 【解答】解：（1）∵AC与⊙O相切于点C， ∴∠ACO=90°
∵BD∥AC∴∠BEO=∠ACO=90°， ∴DE=EB=BD=∵∠D=30°，
∴∠O=2∠D=60°，
（cm）
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在Rt△BEO中，sin60°=
∴OB=5，即⊙O的半径长为5cm．
（2）由（1）可知，∠O=60°，∠BEO=90°， ∴∠EBO=∠D=30°
又∵∠CED=∠BEO，BE=ED， ∴△CDE≌△OBE ∴
答：阴影部分的面积为
．
，
【点评】本题主要考查切线的性质定理、平行线的性质定理、垂径定理以及全等三角形的判定方法．能够熟练解直角三角形．
22．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B=30°，延长BA到D，使∠BDC=30°． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若AB=2，求DC的长．
【考点】切线的判定．
【专题】计算题；证明题． 【分析】（1）根据切线的判定方法，只需证CD⊥OC．所以连接OC，证∠OCD=90°． （2）易求半径OC的长．在Rt△OCD中，运用三角函数求CD． 【解答】（1）证明：连接OC． ∵OB=OC，∠B=30°， ∴∠OCB=∠B=30°．
∴∠COD=∠B+∠OCB=60°． （1分） ∵∠BDC=30°，
∴∠BDC+∠COD=90°，DC⊥OC． （2分） ∵BC是弦，
∴点C在⊙O上，
∴DC是⊙O的切线，点C是⊙O的切点． （3分）
（2）解：∵AB=2， ∴OC=OB=
=1． （4分）
∵在Rt△COD中，∠OCD=90°，∠D=30°，
∴DC=OC=． （5分）
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【点评】本题考查了切线的判定，证明经过圆上一点的直线是圆的切线，常作的辅助线是连接圆心和该点，证明直线和该半径垂直．
23．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）． （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过M作直线MB‖x轴交y轴于点B．过点A作直线AC∥y轴交于点C，交直线MB于点D，当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由；
（4）探索：x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）将A（3，2）分别代入y=，y=ax中，得a、k的值，进而可得正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，得在第一象限内，当0＜x＜3时，反比例函数的图象在正比例函数的上方；故反比例函数的值大于正比例函数的值；
（3）由S△OMB=S△OAC=×|k|=3，可得S矩形OBDC=12，即OC•OB=12，进而可得m、n的值，故可得BM与DM的大小；比较可得其大小关系；
（4）先求出A点坐标，再分OA=OP，OA=AP及OP=AP三种情况进行讨论． 【解答】解：（1）∵将A（3，2）分别代入y=，y=ax中，得：2=，3a=2， ∴k=6，a=，
∴反比例函数的表达式为：y=， 正比例函数的表达式为y=x．
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（2）∵，解得，
∴C（3，2）
观察图象，得在第一象限内，当0＜x＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值；
（3）BM=DM
理由：∵MN∥x轴，AC∥y轴， ∴四边形OCDB是平行四边形， ∵x轴⊥y轴，
∴▱OCDB是矩形．
∵M和A都在双曲线y=上， ∴BM×OB=6，OC×AC=6， ∴S△OMB=S△OAC=×|k|=3，
又∵S四边形OADM=6，
∴S矩形OBDC=S四边形OADM+S△OMB+S△OAC=3+3+6=12，即OC•OB=12， ∵OC=3， ∴OB=4， 即n=4 ∴m==，
∴MB=，MD=3﹣=， ∴MB=MD；
（4）如图，∵S△OAC=OC•AC=3，OC=3， ∴AC=2， ∴A（3，2）， ∴OA=
=
，
∴当OA=OP时，P1（，0）； 当OA=AP时，
∵AC⊥x轴，OC=3， ∴OC=CP2=3， ∴P2（6，0）；
当OP=AP时，设P3（x，0）， ∵O（0，0），A（3，2）， ∴x=
，解得x=
，
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∴P3（
，0）．
，0），P2（6，0），P3（
，0）．
综上所述，P点坐标为P1（
【点评】此题考查的是反比例函数综合题及正比例函数等多个知识点，此题难度稍大，综合性比较强，在解答（3）时要注意进行分类讨论，不要漏解．
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