基于LQR的一级倒立摆设计

基于LQR的一级倒立摆设计

现代控制理论课程设计

直线一级倒立摆LQR控制器的设计

摘要

在控制理论上倒立摆使许多抽象的概念可以直观的表达出来。无论是在实践还是理论上都具有深刻的意义。可以用拉格朗日方法建模，设计倒立摆二次型最优控制器，通过MATLAB仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。 关键词：二次型；倒立摆；稳定控制

前言

倒立摆的最初研究开始于20世纪50年代，由美国麻省理工学院的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计；而后人们有参照双足机器人控制问题研究出二级倒立摆设备，从而提高了检验控制论和方法的能力，也拓宽了检验范围。

在控制理论上倒立摆使许多抽象概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以直观的表现出来。同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。

课程设计要求：熟悉倒立摆实际控制系统；对倒立摆系统建模；进行控制算法设计；进行系统调试和分析；利用MATLAB高级语言编程，实现倒立摆稳定控制；实时输出波形，得出结论。

一. 线性二次最优控制LQR基本理论

LQR控制器是应用线性二次型最优控制原理设计的控制器。它的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近于平衡状态。线性二次型最优控制研究的系统是线性的或可线性化的，并且性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数的积分。

线性二次最优控制LQR基本原理为，由系统方程：

XAXBU

确定下列最佳控制向量的矩阵K：

使得性能指标达到最小值：

utK*xt

J0XQXU**RUdt现代控制理论课程设计

式中：Q为正定（或正半定）厄米特或实对称阵

R为正定厄米特或实对称阵

下面是最优控制LQR控

制原理图：

图1 LQR控制原理图

方程右端第二项是是考虑到控制能量的损耗而引进的，矩阵Q和R确定了误差和能量损耗的相对重要性。并且假设控制向量u(t) 是无约束的。

对线性系统：

.XAXBUYCX 根据期望性能指标选取Q和R，利用MATLAB命令lqr就可以得到反馈矩阵K的值。

KlqrA,B,Q,R 改变矩阵Q的值，可以得到不同的响应效果，Q值越大（在一定范围之内），系统抵抗干扰的的能力越强，调整时间越短。但是Q不能过大。

二. 建立模型及分析

在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆

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组成的系统，如下图所示：

图2 直

线一级倒立摆建模

其中： M 小车质量 m 摆杆质量

b 小车摩擦系数

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力

x 小车位置

φ 摆杆与垂直向上方向的夹角

θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：

(Mm)xbxmlcosml2sinF(Iml)mglsinmlxcos够小的角度，即可近似处理得：

2

倒立摆的平衡是使倒立摆的摆杆垂直于水平方向倒立，所以假设，为足

cos1，sin，

202t

用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个方程如下：

2(Iml)mglmlx(Mm)xbxmlu取状态变量：

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x1xx2xxx3x4

即摆杆的角度和角速度以及小车的位移和速度四个状态变量。则系统的状态方程为：

x1x2(Iml2)bm2gl2(Iml2)xxxu2I(Mm)Mml21I(Mm)Mml22I(Mm)Mml2 x3x4mlbmgl(Mm)mlx1xux42222I(Mm)MmlI(Mm)MmlI(Mm)Mml将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程：

xAxBu xyCx这里设：

M1.32Kgm0.07Kgb0.1N/m/s l0.20mI0.0009Kgm2将参数带入有：

.0x..x0.0..0100000029.400x.x01.10u.03现代控制理论课程设计

四个状态量x，x，，分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出yx,包括小车位置和摆杆角度。设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入

'x.xx10000.y0u0010...时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。

假定全状态反馈可以实现（4个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量K,用MATLAB中的lqr函数，可以得到最优控制器对应的K。lqr函数允许选择两个参数R和Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。

2.稳定性分析

对建模后的一级倒立摆系统进行阶跃响应分析，小车位移和摆杆角度阶跃响应曲线如下图所示：

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Step Response100008000To: Out(1)AmplitudeTo: Out(2)6000400020000150100500050Time (seconds)100150

图3 小车位移和摆杆角度阶跃响应曲线

由图可以看出，小车位移和摆杆角度都是发散的，所以倒立摆系统不稳定。

2．倒立摆能控性能分析

系统能控性是控制器设计的前提，由能控性矩阵M，利用MATLAB可得出Rank(M)=4,所以系统完全可控。

三．软件编程

程序如下：clear;

A=[ 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0]; B=[ 0 1 0 3]'; C=[ 1 0 0 0; 0 0 1 0]; D=[ 0 0 ]';

Q11=5000; Q33=100; Q=[Q11 0 0 0; 0 0 0 0;

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0 0 Q33 0; 0 0 0 0]; R = 1;

K = lqr(A,B,Q,R) %算K Ac = [(A-B*K)]; Bc = [B]; Cc = [C]; Dc = [D]; T=0:0.005:5;

U=ones(size(T)); %输入单位矩阵 [Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T); %输出响应 plot(T,X(:,1),':');hold on; plot(T,X(:,2),'-.');hold on; plot(T,X(:,3),'.');hold on; plot(T,X(:,4),'-')

legend('小车位移','小车速度','摆杆角度','摆杆角速度') 运行程序可得K的值。

四. 系统调试和结果分析

根据方案设计结果，取Q11=1，Q33 =1时，可得K = [ -1 -1.7855 25.422 4.6849]。此时系统的响应曲线如下图：

0.2小车位移小车速度摆杆角度摆杆角速度 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1-1.2 00.511.522.533.544.55

图3 系统的响应曲线

从图中可以看出，响应的超调量很小，但稳定时间和上升时间偏大，小车的位置没有跟踪输入，而是反方向移动。当缩短稳定时间和上升时间，可以发现：在Q矩阵中，增加Q11使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小。这里取Q11=5000，

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Q33 =100，可得K =[-70.7107 -38.1782 110.8049 20.3521],系统响应曲线如下：

0.10.080.060.040.020-0.02-0.04-0.06 0小车位移小车速度摆杆角度摆杆角速度 0.511.522.533.544.55

图4 系统的响应曲线

综上,通过增大Q矩阵中的Q11和Q33，系统的稳定时间和上升时间变短，超调量和摆杆的角度变化也同时减小。

五.系统仿真

在SIMULINK中建立直线一级倒立摆的模型如下图所示：

图

5

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simulink模拟结构图

输入Q11=1，Q33 =1时，得到的K = [ -1 -1.7855 25.422 4.6849]，执行仿真得到如下仿真结果：

图6 小车位移仿真曲线

图7 摆杆角度仿真曲线

输入Q11=5000，Q33 =100时，得到的K =[-70.7107 -38.1782 110.8049 20.3521],执行仿真得到如下仿真结果：

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图8 小车位移仿真曲线

图9 摆杆角度仿真曲线

从图中可以发现，Q 矩阵中，增加Q11使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小,增大Q11和Q33系统响应明显加快，但是对于实际离散控制系统，过大的控制量会引起系统震荡。

六.结论及进一步设想

建立了一级倒立摆的数学模型，并设计了LQR控制器，用MATLAB实现了控制系统的仿真，得到了一级倒立摆各状态量及控制量的响应曲线。由实验结果可以看到，本次课设完成了要求，达到了目的。当然由于知识有限设计还有一些缺陷。

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参考文献

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