辽宁省葫芦岛市2018届高三第二次模拟考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合A. 【答案】B
【解析】分析：求出集合详解：
的子集个数为故选C.
点睛：本题考查集合的交集运算，属基础题. 2. 若复数满足
（为虚数单位)，则的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
，即可得到
.
，
B.
，
C.
，则
D.
（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A
【解析】分析：先根据共轭复数定义得复数，再根据复数几何意义得对应点，最后根据点所在象限得结果. 详解：因为
，所以
，对应点为（1，2），对应第一象限，选A.
3. 已知实数A. 【答案】D
满足 B.
，则下列关系式中恒成立的是（ ）
C.
D.
【解析】分析：利用指数函数即可得出的大小关系，进而判断出结论．
详解：由题对于A，当
B．若 C．当
D．当故选D.
时，
， 时，满足
，但
不成立． 成立，当不成立．
时，满足
，但
不成立．
，则等价为时，满足
恒成立，
，但
点睛：本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．属于基础题． 4. 已知双曲线围是（ ） A.
B.
C.
D.
，若过一、三象限的渐近线的倾斜角
，则双曲线的离心率的取值范
【答案】A
【解析】分析：求得双曲线的渐近线方程，由题意可得得到所求范围． 详解：双曲线
的渐近线方程为
，再由离心率公式和
的关系，即可
由一条渐近线的倾斜角的取值范围[，则
即为 即有即
则故选A．
即
点睛：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题． 5. “
”是计算机软件产生随机数的函数，每调用一次
，其中
函数，就产生一个在区间
内的随机数.我 的样本点的
们产生个样本点.在这个样本点中，满足
个数为，当足够大时,可估算圆周率的近似值为（ ） A.
B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由题可知本题利用随机模拟实验的方法求任取发生的概率，代入几何概型公式，即可得到答案． 详解：
发生的概率为
，在这个样本点中，满足，即
.
的样本点的个数为，当
上的
，求
的概率，计算
足够大时,可估算圆周率的近似值为，故选A．
点睛：本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，属中档题． 6. 已知函数
的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数B. 函数C. 函数D. 函数【答案】C
的周期为
为偶函数 在
上单调递增
对称
的图象关于点
【解析】分析：观察图象由最值求，然后由函数所过的点而研究函数性质即可得出结论．
详解：观察图象可得，函数的最小值-2，所以
，求出 ，可求函数的解析式，进
，又由图像可知函数过，
即 结合可得，则 ，显然A选项错误；
对于B，对于D ,，当由此可知选C.
不是偶函数； 故D错误，
点睛：本题主要考查了由函数的部分图象求函数的解析式，进而研究函数性质，属于中档题．
7. 王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个
米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：
甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；
丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；
王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求， 据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C
【解析】分析：本题假设丙跑第三棒，看有没有矛盾，若有矛盾再假设乙跑第三棒的推测是正确的，从而排出出场顺序．
详解：由题乙，丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙，丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这是丁第一棒，甲第四棒，符合题意. 故跑第三棒的人是丙. 选C.
点睛：本题考查合情推理，可以假设丙跑第三棒，看有没有矛盾，若有矛盾再假设乙跑第三棒，得到正确结果． 8. 在
中，内角
的对边分别为 D.
.若
，且
，则
（ ）
A. B. C. 【答案】A 【解析】∵∴根据正弦定理可得∵∴∵∴∴
，即
，即
，即为锐角
故选A 9. 条形码
是将宽度不等的多个黑条和空白，按照一定的编码规则排列，用以表达一组信息的图形标
”通用代码，它是由从左到右排列的13个数字（用
表示）组成，
识符。常见的条形码是“其中中符号
是校验码，用来校验前12个数字代码的正确性.下面的框图是计算第13位校验码的程序框图，框图表示不超过的最大整数(例如
).现有一条形码如图（1)所示
,其中第6个
数被污损， 那么这个被污损数字是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B
【解析】分析：由已知中程序框图可得：S是条件形码中前12偶数位数字的和，T是条件形码中前12奇数位数字的和，
表示的个数数字，结合
可得答案．
详解：由已知中程序框图可得： 是条件形码中前12偶数位数字的和，即是条件形码中前12奇数位数字的和，即
表示的个数数字，
则故
， ，
，
，，
，
故选B．
点睛：本题考查的知识点是程序框图，根据已知分析出框图中各个变量的意义，是解答的关键．
10. 某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为1，则该几何体的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是侧面垂直于底面，且底面是直角三角形的三棱锥，求出该三棱锥外接球的直径，即可求出外接球的表面积．
详解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是如图所示的三棱锥，三棱锥的高且侧面
底面
∴
几何体的外接球的球心为设则解得
，∴外接球的表面积
故选C．
外接球的半径为
底面
，
，
，
的外接圆的圆心为斜边
的中点 ，设该
．
点睛：本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图还原出几何体的结构特征，是基础题． 11. 在长方体边界）一点，为于函数A. C.
中点，
中，底面
是边长为3的正方形，侧棱为空间任一点，三棱锥
为矩形
的体积的最大值记为
内部（含，则关
，下列结论确的是（ ） 为奇函数 B. D.
在
上单调递增；
【答案】D
【解析】分析：先根据
大距离，再根据锥体体积公式可得详解：因为
，所以
得P点轨迹为圆在矩形
内部（含边界）的圆弧，可得P到CD最
，根据函数表达式可判断选择.
,即
，当P在CC1上时
取最大值，
因此，因此，不为奇函数，在
上单调递增，所以选D.
点睛：立体几何中体积最值问题，先根据几何体体积公式建立函数关系式，再根据条件将函数转化为一元函数问题，最后根据函数形式，根据基本不等式或利用导数求最值. 12. 已知函数
的取值范围是（ ） A.
B.
C.
D.
，在区间
上任取三个数
均存在以
为边长的三角形，则
【答案】D 【解析】分析：由题意得详解：∵函数由
∴∵在区间
上任取三个数
，① ②
联立①②，得故选D．
点睛：本题考查实数的求值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
．
均存在以
得x=1，
时，
时，
为边长的三角形， ，
且
，，
得
，由导数性质得
由此能求出的取值范围．
，
由
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 设平面向量与向量互相垂直，且【答案】5
【解析】由平面向量与向量互相垂直可得
所以
，又
，
，若
，则
__________．
故答案为.
【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是
，二是
，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，
；（3）
向量垂直则
（此时
;(4)求向量
的
往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是模（平方后需求14. 已知数列则
）.
的各项均为整数，
，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，
__________．
【答案】16
【解析】分析：先设公差，表示第11项以及第12项，再根据第11项，第12项，第13项成等比数列解出公差，得到公比，进而求出详解：设公差为，则
因为第11项，第12项，第13项成等比数列，所以
.
，
因为为整数，所以，
点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用. 15. 下列说法： ①线性回归方程②命题“
必过
；
”
”的否定是“
③相关系数越小，表明两个变量相关性越弱； ④在一个
列联表中，由计算得
，则有
的把握认为这两个变量间有关系；
其中正确的说法是__________．(把你认为正确的结论都写在横线上） ．．本题可参考性检验临界值表：
【答案】①④
【解析】分析：根据性回归方程，性检验，相关关系，以及命题的否定等知识，选出正确的，得到结果．
详解：线性回归方程命题“
必过样本中心点
”的否定是“
，故①正确． ” 故②错误
③相关系数r绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故不正确； ④在一个
列联表中，由计算得
，则有
的把握认为这两个变量间有关系，正确.
故答案为①④.
点睛：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了相关系数、命题的否定、性检验、回归直线方程等知识点，属于中档题． 16. 已知
满足约束条件
当目标函数
在该约束条件下取到最小值4,
的
最小值为__________． 【答案】
【解析】分析：由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到
，．再由乘1法和基本不等式，即可得到所求的最小值．
详解：由约束条件，作可行域如图，
联立解得： ．
时，最小．
由图可知，当目标函数过点则即有
，
（当且仅当
取得最小值）． 即答案为
.
点睛：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了基本不
等式的应用，是中档题．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设等差数列（1）求数列
的前项和为，且的通项公式；
成等差数列，
.
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）an=2n-1（2）【解析】分析：设等差数列
得：
的首项为,公差为, 由
成等差数列，可知
的通项公式；
, 由
， 由此解得，，即可得到数列
令详解： 设等差数列
，利用错位相减法可求数列的前项和.
的首项为,公差为, 由
，解得:
成等差数列，可知 , 由得：
因此:
(2)令.则 ，
∴① ②
①—②,得
所以
点睛：本题考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用．
18. 如图，在多面体面
，四边形
中，底面是菱形，
是梯形，.
,，平面平
（1）求证：（2）求多面体
；
的体积.
中，，即得
；
，以
、
、
分别为、、轴建立空间直角坐标系，求得平面BEF
的平面角的余弦值，进而得到二面角
，
，利用勾股定理可证
，可证
，
【答案】（1）见解析（2）
【解析】分析：(1依题意，在等腰梯形又平面
平面即可证明
(2取
的中点，可证
，故
，由四边形ACEF是菱形，
和平面DEF的一个法向量，由向量夹角公式得到二面角的平面角的正切值. 详解：
(1题意，在等腰梯形
中，
∵连接
，
，∵四边形ACEF是菱形，
，，
，
(2 取的中点，连接，因为四边形是菱形，且
.
所以由平面几何易知故此可以
、
、
，∵
，∴.
分别为、、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：
设平面BEF和平面DEF的法向量分别为
∵
同理，
故二面角的平面角的正切值为
点睛：本题考查了空间线面垂直的判定，及向量法求二面角，属于中档题．
19. 海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位:)，其产量都属于区间
，第五组：定义箱产量在
，按如下形式分成5组，第一组：，得到频率分布直方图如图：
(单位:)的网箱为“低产网箱”， 箱产量在区间
的网箱为“高产网箱”.
，第二组：
，第三组：
，第四组：
（1）若同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试计算样本中的100个网箱的产量的平均数； （2）按照分层抽样的方法，从这100个样本中抽取25个网箱，试计算各组中抽取的网箱数； （3）若在（2）抽取到的“低产网箱”及“高产网箱”中再抽取2箱，记其产量分别【答案】（1）37.5（2）3,5,8,7,2.（3）
，求
的概率.
详解：
解： （1）样本中的100个网箱的产量的平均数
（2）各组网箱数分别为：12,20,32,28,8，
要在此100 箱中抽25箱，所以分层抽样各组应抽数为：3,5,8,7,2.
（3）由（2）知低产箱3箱和高产箱2箱共5箱中要抽取2箱，设低产箱中三箱编号为1,2,3，高产箱中两箱编号为4,5，则一共有抽法10种，样本空间为
满足条件|m-n|>10的情况为高低产箱中各取一箱，基本事件为
共6种，
所以满足事件A：|m-n|>10的概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于条件较多且元素数目较多的题目. 20. 已知椭圆圆的任意一条直径，
的焦距为，离心率为，圆面积的最大值为2.
，
是椭圆的左右顶点，
是
（1）求椭圆及圆的方程；
（2）若为圆的任意一条切线，与椭圆交于两点【答案】（1）椭圆方程为
，圆的方程为
，求
的取直范围.
，结合
（2），
【解析】分析：(1)易知当线段AB在y轴时，可求
，可求椭圆方程和圆的方程；
（2）设直线L方程为：y=kx+m,直线为圆的切线，
，
直线与椭圆联立，，得，利用弦长公式
可得详解：
，然后利用换元法求其范围即可.
解：(1) 设B点到x轴距离为h,则
，
所以椭圆方程为
，圆的方程为
，易知当线段AB在y轴时，
（2）设直线L方程为：y=kx+m,直线为圆的切线，，
直线与椭圆联立，，得
判别式，由韦达定理得：，
所以弦长，令，
所以
点睛：本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是难题． 21. 已知函数（1）若曲线（2）当【答案】（1）
在点
（
，且
，为自然对数的底数）.
有极小值，求实数的取值范围；
处的切线斜率为0，且
.
时，证明：
（2）见解析
【解析】 分析：（1）先根据导数几何意义得确定实数的取值范围；（2）先研究函数
解得，再根据导函数符号确定函数极值，根据极值情况
导数，确定导函数单调递减，且存在零点，
进而确定原函数先增后减，即在隐零点处取得最大值，最后研究最大值与零的大小即可得到结论. 详解： (Ⅰ)
当a>0时，
，即f(x)有极大值而无极小值；
当a<0时，
.
(Ⅱ)(i)证明:当a=b=1时，设
，
因为
，所以
，
即f(x)有极小值而无极大值； 所以a的取值范围为
由单调性知,
因为
。
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确
定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程 直角坐标系
中，直线的参数方程为
(为参数)，在极坐标系（与直角坐标系
.
取相同的长
度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为（1）求圆的直角坐标方程； （2）设圆与直线交于点【答案】（1）
，若点的坐标为（2）
，求
的最小值.
【解析】分析：（1）将两边同乘，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；
．
（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出详解： （1）由即
（2）将l的参数方程带入圆C的直角坐标方程，得因为
，可设
，
，化为直角坐标方程为
，
又因为（2，1）为直线所过定点，
所以
点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题． 23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数（1）求不等式（2）若不等式【答案】（1）
. 的解集；
的解集非空，求的取值范围. （2）
的分段函数的形式，解不等式
可分
与
，
三类讨论即可
【解析】分析：（1）求出解得不等式
的解集；
（2）原式等价于存在设
详解：（1）当当当
时，
的解集为 时，
，求出时，
，使成立，即 ，
的最大值即可得到的取值范围.
，无解
∴
.
，使
综上所述
（2）原式等价于存在成立，即 设
由（1）知
当时，，其开口向下，对称轴为x=>-1,所以g(x)≤g(-1)=-8,
当-1点睛：本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用．