2017-2018学年第一学期九年级期中数学试卷
一、选择题：（每题3分，共10分，共计30分．）
1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
2．下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①3x2+x=20，②2x2﹣3xy+4=0，③x2﹣=4，④x2=0，⑤x2﹣+3=0． A．①②
B．①②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
3．在抛物线y=2x2﹣3x+1上的点是（ ） A．（0，﹣1） B． C．（﹣1，5） D．（3，4）
4．直线
与抛物线
的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．互相重合的两个
5．若（2，5）、（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（ A．x=﹣
B．x=1
C．x=2 D．x=3
6．把一个正方形绕对角线的交点旋转到与原来重合，至少需转动（ A．45° B．60°
C．90° D．180°
7．如果代数式x2+4x+4的值是16，则x的值一定是（ ） A．﹣2
B．2
，﹣2
C．2，﹣6 D．30，﹣348．二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象如何平移可得到y=﹣2x2的图象（ ） A．向左平移1个单位，向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，向上平移3个单位 C．向左平移1个单位，向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，向下平移3个单位
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=35°，则∠OAB的度数是（ ）
）
）
A．70°
B．65°
C．60°
D．55°
10．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共10分，共计30分．） 11．已知y=
﹣2，当x 时，函数值随x的增大而减小．
12．已知直线y=2x﹣1与抛物线y=5x2+k交点的横坐标为2，则k= ． 13．用配方法将二次函数y=x2+x化成y=a（x﹣h）2+k的形式是 ． 14．若关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m﹣3=0有一个根为0，则m= ．
15．已知方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是Rt△ABC的两条边的长，则Rt△ABC的第三边长为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为
的一部分（如图），
17．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是 米．
18．二次函数y=x2+4x+5中，当x= 时，y有最小值．
19．若抛物线y=x2﹣x﹣12与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 ．
20．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＜x2＜1，则y1 y2．（填“＞”“=”或“＜”） 三、解答题（共60分）
21．解方程：（每题4分，共8分．） ①（2x+1）2=3（2x+1） ②（3x﹣1）2=（x+1）2．
22．（8分）已知抛物线y=ax2+bx+c经过（﹣1，0），（0，﹣3），（2，3）三点． （1）求这条抛物线的表达式．
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
23．（8分）已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值． （1）方程有两个相等的实数根； （2）方程的一个根为0．
24．（8分）如图，四边形ABCD的∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC于E，△BEA旋转一定角度后能与△DFA重合． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？
（3）若AE=5cm，求四边形ABCD的面积．
25．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
①写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
②若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
③求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
26．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且
AD平分∠CAE． 求证：DB=DC．
27．（12分）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是x轴上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式；
（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积；
（3）若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD=S△BCD，求点P的坐标．
．
数学答案 一、选择题：
1．D 2．D 3．B 4．C 5．D 6．C 7．C 8．C 9．A 10．D 二、填空题
11．x ＜﹣1 12．（2，3） 13． y=（x+）2﹣ ． 14．m= 1 ． 15． 5或
16． 5
17． 4 ． 18． ﹣2 ． 19． 7 ． 20． ＞ 三、解答题（共60分）
21．解方程：（每题4分，共8分．） ①（2x+1）2=3（2x+1） ②（3x﹣1）2=（x+1）2．
解：①（2x+1）2﹣3（2x+1）=0， （2x+1）（2x+1﹣3）=0， 2x+1=0或2x+1﹣3=0， 所以x1=﹣，x2=1； ②（3x﹣1）2=（x+1）2． 解：开方得：3x﹣1=±（x+1）， 解得：x1=1，x2=0．
22．（8分）已知抛物线y=ax2+bx+c经过（﹣1，0），（0，﹣（1）求这条抛物线的表达式．
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：（1）由题意得
，
解得．
所以这个抛物线的表达式为y=2x2﹣x﹣3．
3），（2，3）三点．
（2）y=2x2﹣x﹣3=2（x﹣）﹣，
）
所以抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣
23．（8分）已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值． （1）方程有两个相等的实数根； （2）方程的一个根为0．
解：（1）∵△=16m2﹣8（m+1）（3m﹣2）=﹣8m2﹣8m+16， 而方程有两个相等的实数根， ∴△=0，即﹣8m2﹣8m+16=0， ∴m1=﹣2，m2=1； （2）∵方程有一根为0， ∴3m﹣2=0， ∴m=．
24．（8分）如图，四边形ABCD的∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC于E，△BEA旋转一定角度后能与△DFA重合． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？
（3）若AE=5cm，求四边形ABCD的面积．
解：（1）由图可知，点A为旋转中心； （2）∠EAF为旋转角，
在正方形AECF中，∠EAF=90°， 所以，旋转了90°或270°；
（3）∵△BEA旋转后能与△DFA重合， ∴△BEA≌△DFA，
∴S△BEA=S△DFA，
∴四边形ABCD的面积=正方形AECF的面积， ∵AE=5cm，
∴四边形ABCD的面积=52=25（cm2）．
25．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
①写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
②若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
③求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 解：①w=（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）] =（x﹣20）（﹣10x+500）
=﹣10x2+700x﹣10000（ 25≤x≤50 ）； ②当w=2000时，得﹣10x2+700x﹣10000=2000 解得：x1=30，x2=40，
所以，商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元；
③w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250． ∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值， 当x=35时，wmax=2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大，最大利润为2250元．
26．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且
AD平分∠CAE． 求证：DB=DC．
证明：∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角， ∴∠DAC=∠DBC． ∵AD平分∠CAE， ∴∠EAD=∠DAC， ∴∠EAD=∠DBC．
∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EAD=∠BCD， ∴∠DBC=∠DCB， ∴DB=DC．
27．（12分）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是x轴上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式；
（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积；
（3）若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD=S△BCD，求点P的坐标．
解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4）， ∴设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4， 把点B（0，3）代入得，a+4=3， 解得a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4； 令y=0，则0=﹣（x﹣1）2+4， ∴x=﹣1或x=3，
∴C（﹣1，0），D（3，0）； ∴CD=4，
∴S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；
（3）由（2）知，S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；CD=4， ∵S△PCD=S△BCD，
∴S△PCD=CD×|yP|=×4×|yP|=3， ∴|yP|=，
∵点P在x轴上方的抛物线上， ∴yP＞0， ∴yP=，
∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4； ∴=﹣（x﹣1）2+4， ∴x=1±∴P（1+
，
，），或P（1﹣
，）．