·观点碰撞·
ａｂ则有ａ＋ｂ＞＋．
ａ＋ｍｂ＋ｍａ＋ｂ＋ｍａ＋ｂ＋ｍａｂａ＋ｂ，所以又因为＋＝ａ＋ｂ＋ｍａ＋ｂ＋ｍａ＋ｂ＋ｍ◇ 山东 韩 霞
ａｂａ＋ｂａ＋ｂｃ，故有＋．又＞＞
ｂ＋ｍｂ＋ｍｃ＋ｍａ＋ｍｂ＋ｍａ＋ａ＋ａｂｃ＋．＞
ａ＋ｍｂ＋ｍｃ＋ｍ３ 构造三角函数证明不等式
对于和三角有一定联系或结构上有相似之处的根据题目的特点，分析条件和结论不等式证明问题，
的形式特征及其内在联系，联想到正、余函数的性质和利用三角公式，可构造三角函数来转化并证明结论，不失为处理问题的一条捷径．
，例３ 已知集合Ｍ＝｛ｘｘｘｘ｜｜｜≤１｝１、２∈Ｍ，
２２（（求证ｘｘ２＋槡１－ｘ１－ｘ≤１．１１）２）是联系各个数学分支的 函数是高中数学的基础，
桥梁和纽带．有些不等式证明问题，我们可以根据其构造相应的函数，建立起适当的函数模型，结构特征，
从函数的单调性或有界性等角度入手，利用函数的单调性、凸凹性等性质，则可以顺利地证明不等式．把握这种构造函数的证题策略，有利于证明一些用常规方法难以证明的命题．１ 构造一次函数证明不等式
例１ 设０＜ｘ＜１，求证：０＜０＜ｚ＜１，ｙ＜１，
ｘ（１－＋１－ｚ）＋ｚ（１－ｘ）＜１．ｙ）ｙ（
分析 把结论的左式看成以ｘ为主元的一次函数，利用一次函数的单调性即可得证．
证明 设ｆ（ｘ）＝ｘ（１－ｙ）＋ｙ（１－ｚ）＋ｚ（１－ｘ）＝（１－ｚ）ｘ＋（ｚ－ｚ）（０＜ｘ＜１）．ｙ－ｙ＋ｙ因为０＜所以ｆ（０＜ｚ＜１，０）＝ｙ＋ｚ－ｙｚｙ＜１，（＝１－（１－１－ｚ）１）＝１－ｚ＜１．＜１，ｙ）ｆ（ｙ所以当ｘ∈（时，即０，１）ｘ）＜１，ｆ（
分析 分析条件和结论的形式特征及其内在联系，联想到正、余函数的性质和相关公式，可构造三角函数来转化并证明结论．
证明 由题意，构造函数ｘ＝ｆ（于是＝ｃｏｓθ）θ，
所以ｘｃｏｓｘｃｏｓθθ１＝１，２＝２．
２２（（ｘｘ２＋槡１－ｘ１－ｘ＝ｃｏｓｃｏｓθθ１１）２）１２＋
（（１－ｃｏｓ１－ｃｏｓ＝ｃｏｓｃｏｓｓｉｎｓｉｎ＝θθθθ｜θθ｜１）２）１２＋１２槡２２ｘ（１－＋１－ｚ）＋ｚ（１－ｘ）＜１．ｙ）ｙ（
我们可由：在ｚ）ｘ）＝（１－ｙ－ｚ）ｘ＋（ｆ（ｙ＋ｚ－ｙ，上的图象是线段（不含端点）故ｆ（ｘ∈（０，１）ｘ）＜１０）１）ｆ（＜１且ｆ（＜１．２ 构造分式函数证明不等式
例２ 已知△Ａ且ｍＢＣ的三边长分别是ａ，ｂ，ｃ，为正实数．求证：ａ＋ｂ＞ｃ．
ａ＋ｍｂ＋ｍｃ＋ｍ（ｃｏｓｃｏｓｓｉｎｓｉｎｃｏｓθθθθθθ≤１，１２±１２＝１±２）
２２（（即ｘｘ２＋槡１－ｘ１－ｘ≤１．１）２）１４ 构造幂函数证明不等式
５例４ 如果ａ，且有ａ≠求证：ｂ均为正数，ｂ，ａ＋５３２２３ｂａｂ＋ａｂ．＞
５５分析 将不等式的右边移到左边，得ａ＋ｂ－３２２３将此不等式的左边进行因式分解得ａｂ－ａｂ＞０，
３３２２５５３２２３３（）（），到：即ａａ－ｂａ－ｂ＋ｂ－ａｂ－ａｂ＝（ａ３２２）（）则将问题转化为证明下式：－ｂａ－ｂ＞０，
３３２２（）（）ａ－ｂａ－ｂ＞０．ｎ（函数ｆ（在（上的单调ｘ）＝ｘｎ∈Ｎ＊）０，＋∞）
可得到ｆ（在区间（上是单调递增函数．性，ｘ）０，＋∞）３３２２３３，，，因为ａ＜所以ａ则有ａｂｂａｂ－ｂ＜＜＜０，
２２３３２２）（）即（同理可得：若ａ＞ａ－ｂａ－ｂａ－ｂ＜０，＞０；３３２２３３２２，，，）（）则有ａ即（所以ｂｂａｂａ－ｂａ－ｂ＞＞＞０；
５５３２２３ａ＋ｂａｂ＋ａｂ．＞
通过构造幂函数，利用幂函数在某个区间的单调
ｘ，（证明 构造函数ｆ（ｘ）＝ｘ∈０＋∞）．
ｘ＋ｍ，证ｆ（为增函数．由于ａ∈（ｘ）０，＋∞）ｂ∈（０，，，），即＋∞）ｃ∈（０，＋∞）ａ＋ｂ＞ｃ，ａ＋ｂ）ｃ＞ｆ（ｆ（
ａ＋ｂｃ．＞
ａ＋ｂ＋ｍｃ＋ｍ因为：则有：ａ＋ｂ＞ａ，ａ＋ｂ＞ｂ，ａ＋ｂ＋ｍ＞ａ＋ｍ，
将不等式两边同时取倒数，不等号ａ＋ｂ＋ｍ＞ｂ＋ｍ，所以的方向改变，
１１１，１＞．＞ａ＋ｍａ＋ｂ＋ｍｂ＋ｍａ＋ｂ＋ｍ将分子１换元为对应位置的ａ和ｂ，即：
ａａｂ，ｂ＞，＞
ａ＋ｍａ＋ｂ＋ｍｂ＋ｍａ＋ｂ＋ｍ性，即可证明．将以上问题推广为：若ａ、ｂ是正数且
ｍ＋ｎｍ＋ｎｎｎｍ求证：ａ≠ｂ，ａ＋ｂａｍｂ＋ａｂｍ，ｎ∈Ｎ＊）．＞ ，（
（作者单位：山东省滕州市第一中学东校）
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