应力与强度计算

一.内容提要

本章介绍了杆件发生基本变形时的应力计算，材料的力学性能，以及基本变形的强度计算。

1．拉伸与压缩变形 1.1 拉（压）杆的应力

1.1.1拉（压）杆横截面上的正应力

拉压杆件横截面上只有正应力，且为平均分布，其计算公式为 FN (3-1) A式中FN为该横截面的轴力，A为横截面面积。

正负号规定 拉应力为正，压应力为负。 公式（3-1）的适用条件：

（1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件； （2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；

（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀；

（4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角20时，可应用式（3-1）计算，所得结果的误差约为3%。

1.1.2拉（压）杆斜截面上的应力（如图3-1）

0

图3-1

拉压杆件任意斜截面（a图）上的应力为平均分布，其计算公式为 全应力 正应力

pcos (3-2)

cos2（3-3）

1sin2 （3-4） 2切应力式中为横截面上的应力。

正负号规定：

 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。

 拉应力为正，压应力为负。

 对脱离体内一点产生顺时针力矩的为正，反之为负。

两点结论：

（1）当0时，即横截面上，达到最大值，即max。当=90时，即

00纵截面上，=90=0。

00（2）当45时，即与杆轴成45的斜截面上，达到最大值，即()max02。

1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律 （1）变形及应变

杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。

图3-2

轴向变形 ll1l 轴向线应变 l l横向变形 bb1b 横向线应变 b b正负号规定 伸长为正，缩短为负。 （2）胡克定律

当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。即

E （3-5）

或用轴力及杆件的变形量表示为

lFNl (3-6) EA式中EA称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。

公式(3-6)的适用条件：

(a)材料在线弹性范围内工作，即p；

(b)在计算l时，l长度内其N、E、A均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。即

li1nNili (3-7) EiAi(3)泊松比

当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。即

1.3 材料在拉（压）时的力学性能 1.3.1低碳钢在拉伸时的力学性能 应力——应变曲线如图3-3所示。

 (3-8) 

图3-3 低碳钢拉伸时的应力－应变曲线

卸载定律:在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。如图3-3中dd’直线。

冷作硬化：材料拉伸到强化阶段后，卸除荷载，再次加载时，材料的比例极限升高，而塑性降低的现象，称为冷作硬化。如图3-3中d’def曲线。图3-3中，of’ 为未经冷作硬化，拉伸至断裂后的塑性应变。d’f’ 为经冷作硬化，再拉伸至断裂后的塑性应变。

四个阶段四个特征点，见表1-1。

表1-1 低碳钢拉伸过程的四个阶段 阶 段 弹性阶段 图1-5中线段 oab 特征点 比例极限p 弹性极限e 屈服阶段 bc 屈服极限s 说 明 p为应力与应变成正比的最高应力 e为不产生残余变形的最高应力 s为应力变化不大而变形显著增加时的最低应力 强化阶段 局部形变阶段 ce ef 抗拉强度b b为材料在断裂前所能承受的最大名义应力 产生颈缩现象到试件断裂 表1-1 主要性能指标，见表1-2。

表1-2 主要性能指标 性能 弹性性能 强度性能 性能指标 弹性模量E 屈服极限s 说明 当p时，E 材料出现显著的塑性变形 抗拉强度b 塑性性能 材料的最大承载能力 材料拉断时的塑性变形程度 材料的塑性变形程度 l1l100% lAA1100% 截面收缩率A延伸率1.3.2 低碳钢在压缩时的力学性能

图3-4 低碳钢压缩时的应力－应变曲线

应力——应变曲线如图3-4中实线所示。

低碳钢压缩时的比例极限p、屈服极限s、弹性模量E与拉伸时基本相同，但侧不出抗压强度b

1.3.3铸铁拉伸时的力学性能

图3-5 铸铁拉伸时的应力－应变曲线

应力——应变曲线如图3-5所示。

应力与应变无明显的线性关系，拉断前的应变很小，试验时只能侧得抗拉强度b。弹性模量E以总应变为0.1%时的割线斜率来度量。

1.3.3铸铁压缩时的力学性能

应力——应变曲线如图3-6所示。

图3-6 铸铁压缩时的应力－应变曲线

铸铁压缩时的抗压强度比拉伸时大4—5倍，破坏时破裂面与轴线成45~35。宜于做抗压构件。

1.3.4塑性材料和脆性材料

延伸率〉5%的材料称为塑性材料。 延伸率〈5%的材料称为脆性材料。

1.3.5屈服强度0.2

对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常用材料产生0.2%的残余应变时所对应的应力作为屈服强度，并以0.2表示。

1.4 强度计算

许用应力 材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。 塑性材料 []=

00s ； 脆性材料 []=b nsnb其中ns,nb称为安全系数，且大于1。

强度条件：构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许用应力。

对轴向拉伸（压缩）杆件

N （3-9） A按式（1-4）可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度计算。

2．扭转变形

2.1 切应力互等定理

受力构件内任意一点两个相互垂直面上，切应力总是成对产生，它们的大小相等，方向同时垂直指向或者背离两截面交线，且与截面上存在正应力与否无关。

2.2纯剪切

单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态，称为纯剪切应力状态。 2.3切应变

切应力作用下，单元体两相互垂直边的直角改变量称为切应变或切应变，用表示。 2.4 剪切胡克定律

在材料的比例极限范围内，切应力与切应变成正比，即

G (3-10)

式中G为材料的切变模量，为材料的又一弹性常数（另两个弹性常数为弹性模量E及泊松比）,其数值由实验决定。

对各向同性材料,E、 、G有下列关系

GE (3-11)

2(1)2.5 圆截面直杆扭转时应力和强度条件 2.5.1 横截面上切应力分布规律 用截面法可求出截面上扭矩，但不能确定切应力在横截面上的分布规律和大小。需通过平面假设，从几何、物理、平衡三方面才能唯一确定切应力分布规律和大小。 (1)沿半径成线性分布，圆心处0，最大切应力在圆截面周边上。

(2)切应力方向垂直半径，圆截面上切应力形成的流向与该截面上扭矩转向相等，图3-7。

T T

图3-7

2.5.2切应力计算公式

横截面上某一点切应力大小为

pT (3-12) Ip式中Ip为该截面对圆心的极惯性矩，为欲求的点至圆心的距离。

圆截面周边上的切应力为

maxIpRT (3-13) Wt式中Wt称为扭转截面系数，R为圆截面半径。

2.5.3 切应力公式讨论

（1） 切应力公式（3-12）和式（3-13）适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆

截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用，其误差在工程允许范围内。 （2） 极惯性矩Ip和扭转截面系数Wt是截面几何特征量，计算公式见表3-3。在面积

不变情况下，材料离散程度高，其值愈大；反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强。因此，设计空心轴比实心轴更为合理。

表3-3 Ip实心圆 （外径为d） d432 Wtd316 空心圆 （外径为D， 内径为d） IpD432(1a4) ad DWtD416(1a4) 2.5.4强度条件

圆轴扭转时，全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值，否则将发生破坏。因此，强度条件为

max对等圆截面直杆

T (3-14) Wtmaxmax式中为材料的许用切应力。

3．弯曲变形的应力和强度计算

3.1 梁横截面上正应力

3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系

Tmax （3-15） Wt1M (3-16) EIz式中，是变形后梁轴线的曲率半径；E是材料的弹性模量；IE是横截面对中性轴Z轴的惯性矩。

3.1.2横截面上各点弯曲正应力计算公式

My (3-17) IZ式中，M是横截面上的弯矩；IZ的意义同上；y是欲求正应力的点到中性轴的距离。 由式(3-17)可见，正应力的大小与该点到中性轴的距离成正比。横截面上中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。 在实际计算中，正应力的正负号可根据梁的变形情况来确定，位于中性轴凸向一侧的各点均

为拉应力，而位于中性轴凹向一侧的各点均为压应力。

最大正应力出现在距中性轴最远点处

maxMmaxMymaxmax （3-18） IzWz式中，Wz12Iz称为抗弯截面系数。对于hb的矩形截面，Wzbh；对于直径为D

6ymax的圆形截面，Wz32D3；对于内外径之比为ad3D(1a4)。 的环形截面，WzD32若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不是对称轴，则最大

拉应力与最大压应力数值不相等。 3.2梁的正应力强度条件

梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力，其表达式为

maxMmax （3-19） Wz由正应力强度条件可进行三方面的计算：

（1）校核强度 即已知梁的几何尺寸、材料的容许应力以及所受载荷，校核正应力是否超过容许值，从而检验梁是否安全。

（2）设计截面 即已知载荷及容许应力，可由式WzMmax确定截面的尺寸

（3）求许可载荷 即已知截面的几何尺寸及容许应力，按式MmaxWz确定许可载荷。

对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如T字形截面、上下不等边的工字形截面等），其强度条件应表达为

lmaxymaxMmaxy1t （3-20a） IzMmaxy2c （3-20b） Iz式中，t,c分别是材料的容许拉应力和容许压应力；y1,y2分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离。

若梁上同时存在有正、负弯矩，在最大正、负弯矩的横截面上均要进行强度计算。 3.3梁的切应力

QSz （3-21） Izb式中，Q是横截面上的剪力；Sz是距中性轴为y的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩；

Iz是整个横截面对中性轴的惯性矩；b是距中性轴为y处的横截面宽度。

3.3.1矩形截面梁

切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变，沿高度呈抛物线分布。 切应力计算公式

6Qh23y2 （3-22）

bh4最大切应力发生在中性轴各点处，max3Q。 2A3.3.2工字形截面梁

切应力主要发生在腹板部分，其合力占总剪力的95~97%，因此截面上的剪力主要由腹板部分来承担。

切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。计算公式为

QBbh2222Hhy (3-23)

Izb824式中各符号可参看。

另外，沿翼缘水平方向也有不大的切应力，计算公式为

'QH （3-24） 2Iz翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化，并与腹板部分的竖向剪切应力形成所谓的剪应力流。由于这部分切应力较小，一般不予考虑，只是在开口薄壁截面梁的弯曲中才用到它。

3.3.3圆形截面梁

横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点，其竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线变化。

最大切应力发生在中性轴上，其大小为

maxd22dQQSz834Q （3-25） d4Izb3Ad圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似。

3.4切应力强度条件

梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即

maxQmaxSzmax (3-26)

Izb式中，Qmax是梁上的最大切应力值；Szmax是中性轴一侧面积对中性轴的静矩；Iz是横

截面对中性轴的惯性矩；b是max处截面的宽度。对于等宽度截面，max发生在中性轴上，对于宽度变化的截面，max不一定发生在中性轴上。

切应力强度条件同样可以进行强度校核、设计截面和求许可载荷三方面的计算。 在进行梁的强度计算时，应注意下述二个问题。 （1） 对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应力强度条件是次要的。一般仅需考虑正应力强度条件。对于较粗短的梁，当集中力较大时，截面上剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，需要校核切应力强度。

（2） 正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处的切应力为零；切应力的最大值一般发生在中性轴上，该处的正应力为零。对于横截面上其余各点，将同时存在正应力和切应力，这些点的强度计算，应按强度理论计算公式进行。

3.5提高弯曲强度的主要措施 3.5.1选择合理的截面形式

由公式(3-20)可知，梁所能承受的最大弯矩与抗弯截面系数Wz成正比。在截面面积相同的情况下，改变截面形状以增大抗弯截面系数Wz，从而达到提高弯曲强度的目的。

为了比较各种截面的合理程度，可用抗弯截面系数与截面面积的比值

WzW来衡量，zAA比值愈大，截面就愈合理。

在选择截面形状时，还要考虑材料的性能。对于由塑料材料制成的梁，因拉伸与压缩的容许应力相同，以采用中性轴为对称轴的截面。对于由脆性材料制成的梁，因容许拉应力远小于容许压应力，宜采用T字形或II形等中性轴为非对称轴的截面，并使最大拉应力发生在离中性轴较近的的边缘处。

3.5.2用变截面梁

一般的强度计算是以危险截面的最大弯矩Mmax为依据的，按等截面梁来设计截面尺寸，这显然是不经济的。如果在弯矩较大的截面采用较大的尺寸，在弯矩较小的截面采用较小的尺寸，使每个截面上的最大正应力都达到容许应力，据此设计的变截面梁是最合理的，称为等强度梁。

3.5.3改善梁的受力状况

合理布置梁上的载荷和调整梁的支座位置，使梁的最大弯矩变小，也可达到提高弯曲强度的目的。

4.剪切及其实用计算 4.1剪切的概念

剪切定义为相距很近的两个平行平面内，分别作用着大小相等、方向相对（相反）的两个力，当这两个力相互平行错动并保持间距不变地作用在构件上时，构件在这两个平行面间的任一（平行）横截面将只有剪力作用，并产生剪切变形。

4.2剪切的实用计算

名义切应力：假设切应力沿剪切面是均匀分布的 ，则名义切应力为

Q （3-27） A剪切强度条件：剪切面上的工作切应力不得超过材料的 许用切应力,即

Q （3-28） A利用式（3-28）对构件进行剪切强度校核、截面设计和许可载荷的计算。 5.挤压及其实用计算 5.1挤压的概念

挤压 两构件接触面上产生的局部承压作用。 挤压面 相互接触压紧的面。

挤压力 承压接触面上的总压力，用Pbs表示。

5.2挤压的实用计算

名义挤压应力 假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的，则

bsPbsbs （3-29） Abs式中，Abs表示有效挤压面积，即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上的投影。当挤压面为平面时为接触面面积，当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上的 投影面积。

挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力

bsPbs （3-30） Abs利用式（3-29）对构件进行挤压强度校核、截面设计和许可载荷的计算。

二．基本要求

1.拉伸与压缩变形

1.1熟练掌握应力的计算，理解胡克定律。

1.2了解常用材料在拉伸和压缩时的机械性质及其测量方法。 1.3理解许用应力、安全系数和 强度条件，熟练计算强度问题。 2.扭转变形

2.1理解纯剪切的概念、切应力互等定理和剪切胡克定律。 2.2理解圆轴扭转时应力公式推导方法，并熟练计算扭转应力。 2.3理解圆轴扭转强度条件的建立方法，并熟练计算强度问题。 3.弯曲变形

3.1理解弯曲正应力的概念及其公式推导方法，熟练掌握弯曲正应力及强度问题。 3.2理解弯曲切应力的概念及其公式推导方法，掌握简单截面梁弯曲切应力的计算及弯曲切应力强度条件。

4.剪切与挤压变形：了解剪切和挤压的概念，熟练掌握剪切和挤压的实用计算方法。 5.熟练掌握常用截面的形心、静矩、惯性矩的计算及平行移轴公式。 三．补充例题

例1．杆系结构如图所示，已知杆AB、AC材料相同，160MPa，横截面积分别为A1706.9mm2，

A2314mm2，试确定此结构许可载荷

[P]。

解：（1）由平衡条件计算实际轴力，设AB杆轴力为N1，AC杆轴力为N2。

对于节点A，由X0得

N2sin45N1sin30 （a）

由Y0得

N1cos30N2cos45P （b）

由强度条件计算各杆容许轴力

N1A1706.9160106106113.1kN （c） N2A231416010610650.3kN （d）

由于AB、AC杆不能同时达到容许轴力，如果将N1，N2代入（2）式，解得

P133.5kN

显然是错误的。 正确的解应由（a）、（b）式解得各杆轴力与结构载荷P应满足的关系

N12P130.732P （e）

N22P130.518P （f）

（2）根据各杆各自的强度条件，即N1N1，N2N2计算所对应的载荷P，由（c）、（e）有

N1N1A1113.1kN

0.732P113.1kN

P.5kN （g） 1154由（d）、（f）有

N2N2A250.3kN

0.518P50.3kN

P297.1kN （h）

要保证AB、AC杆的强度，应取（g）、（h）二者中的小值，即P2，因而得

P97.1kN

上述分析表明，求解杆系结构的许可载荷时，要保证各杆受力既满足平衡条件又满足强

度条件。

例2．如图 所示冲床，Pmax400kN，冲头400MPa，冲剪钢板b360 MPa，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。

解：（1）按冲头压缩强度计算d

PP 2Ad4所以 d4P3.4cm

（2）按钢板剪切强度计算t

QPb Adt所以

tP1.04cm db3例3． 2..5m挖掘机减速器的一轴上装一齿轮，齿轮与轴通过平键连接，已知键所受的力为P＝12.1kN。平键的尺寸为：b=28mm，h=16mm,l2=70mm，圆头半径R＝14mm（如图 ）。键的许用切应力87MPa，轮毂的许用挤压应力取bs＝100MPa，试校核键连接的强度。

解： （1）校核剪切强度 键的受力情况如图 c所示，此时剪切面上的剪力（图 d）

为

N QP12.1kN12100对于圆头平键，其圆头部分略去不计（图3－10e），故剪切面面积为 AblPbl22R

2.8721.411.76cm11.7610mQ12100 A11.761046242

所以，平键的工作切应力为  10.310Pa10.3MPa87MPa

满足剪切强度条件。

（2）校核挤压强度 与轴和键比较，通常轮毂抵抗挤压的能力较弱。轮毂挤压面上的

挤压力为

P＝12100N

挤压面的面积与键的挤压面相同，设键与轮毂的接触高度为 Absh，则挤压面面积（图f)为 2h1.67.021.4 lP22242 3.36cm3.3610m

故轮毂的工作挤压应力为

bsP12100 4Abs3.3610 36106Pa36MPabs100MPa 也满足挤压强度条件。所以，此键安全。

例4 AB轴传递的功率为N7.5kW，转速

n360r/min。如图 所示，轴AC段为实心圆

截面，CB段为空心圆截面。已知D3cm，

d2cm。试计算AC以及CB段的最大与最小

剪应力。

解：（1）计算扭矩 轴所受的外力偶矩为

N7.5m95509550199Nm

n360由截面法

Tm199Nm

（2）计算极惯性矩 AC段和CB段轴横截面的极惯性矩分别为

IP1IP2D43247.95cm4

D32d46.38cm4

（3）计算应力 AC段轴在横截面边缘处的剪应力为

ACACmax外ACmin0TD37.5106Pa37.5MPaIP12

CB段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为

CBCBmin内Td31.2106Pa31.2MPa IP22TD46.8106Pa46.8MPa IP22CBCBmax外